数列的通项公式

       数列是高考中重要考察的内容，而数列的递推关系是研究数列性质的基础。因此，求数列的通项公式是频频出现在历次高考中。对于广大同学来说，这一块的知识是必须要掌握的，高考中这一块的考题也要尽可能的拿满分。在分享几类【数列求通项】的方法前，请允许笔者赘述数列的通项公式以及递推公式的概念。

1.通项公式：数列的第 N 项 a_{n} 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式 a_{n}=f\left( n\right) 来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式

特点：

(1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；

(2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

2.递推公式：如果数列{ a_{n} }的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

特点：

(1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。

(2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

求数列通项的方法主要有：公式法、迭代法、构造法、不动点法、特征根法等。

下面我们来介绍一下五种常用的方法：

一、公式法求数列通项

1.若 \left\{ a_{n}\right\} 是等差数列，首项为 a_{1} ，公差为 d ，则其通项公式为 a_{n}=a_{1}+\left( n-1\right) d .

2.若 \left\{ a_{n}\right\} 是等比数列，首项为 a_{1} ，公比为 q ，则其通项公式为 a_{n}=a_{1}q^{n-1} .

3.若数列的前 n 项和为 S_{n} ，则 a_{n}=\begin{cases}S_{1},n=1\\ S_{n}-S_{n-1},n\geq 2\end{cases} .

特别地：当出现 a_{n+1}-a_{n-1}=d 或 \dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=q( n\geq 2) 时，数列通项需要分奇数项和偶数项讨论，结果可能是分段形式。

二、迭代法求数列通项

迭代思想源于等差和等比数列求通项问题，其本质是差分（商分）思想。

1.已知 a_{1}=b ， a_{n+1}=a_{n}+f\left( n\right) ，求通项 a_n .

累加法： a_{n}=\left( a_{n-}a_{n-1}\right) +\left( a_{n-1}-a_{n-2}\right) +\ldots +\left( a_{2}-a_{1}\right) +a_{1} ；

2.已知 a_{1}=b ， a_{n+1}=f\left( n\right) a_{n} ，求通项 a_n .

累乘法： a_{n}=\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}•…•\dfrac{a_{2}}{a_{1}}•a_1(a_n\neq 0) .

总结：已知 a_1=a，a_{n+1}-a_n=f(n) ,其中 f（n） 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分数函数，求通项 a_n 。

若 f（n） 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和。

若 f（n） 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和。

若 f（n） 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和。

若 f（n） 是关于 n 的分数函数，累加后可裂项求和

三、构造法求数列通项

1.求形如 a_{n+1}=pa_{n}+q 的递推公式的通项，基本思路是转化为等差数列或等比数列。

（1）若 p=1 ，数列为等差数列；

（2）若 q=0 ，数列为等比数列；

（3）若 p\ne 1，数列为线性递推数列，可采用如下两种方法求数列的通项公式：

①待定系数法：设a_{n} +x =p(a_{n-1} +x)，用待定系数法可求出 x=\dfrac{q}{1-p} ，进而构造新的等比数列{ { {a_{n} -x} } }，求出通项。其中 x 为方程 x=px+q 的解，被称为数列的不动点。

②逐步相减法：也可由 a_{n+1}=pa_{n}+q 及 a_{n}=pa_{n-1}+q ，两式相减得 a_{n+1}-a_{n}=p（a_{n}-a_{n-1}） ，所以 \left\{ a_{n+1}-a_{n}\right\} 是首项 a_{2} -a_1 公比为 p 的等比数列，先求出 a_{n+1}-a_{n} ，再求出 a_{n} 。

2形如 a_{n+1}=pa_{n}+kn+b （其中 k，b 是常数，且 k\ne0 ）

方法1：逐项相减法（阶差法）

方法2：待定系数法

通过凑配可转化为 a_n+xn+y = p[a_{n-1}+x(n-1)+y]；

解题基本步骤：

（1）确定 f（n）=kn+b ；

（2）设等比数列 b_n=a_n+xn+y ，公比为 p ；

（3）列出关系式a_n+xn+y=p[a_{n-1}+x(n-1)+y]，即 b_n=pb_{n-1} ;

（4）比较系数求 x，y ；

（5）解得数列 \left\{ a_n+xn+y\right\} 的通项公式；

（6）解得数列 \left\{ a_n\right\} 的通项公式。

3.形如 a_{n+1}=pa_{n}+q^{n} （p\ne0,1，且q\ne0,1） 的递归式，有以下两种方法：

（1）等号两边同除以 p^{n+1} ，再累加求通项。

（2）等号两边同加上xp^{n+1}，再构造等比数列 \left\{ a_{n}+xq^{n}\right\} 。

若 p=q ，则只能采用（1），而用（2）无法求解。

4.形如 a_{n+1}=pa^{q}_n(p>0,a_n>0) 的递归式，等号两边取对数有 \lg a_{n+1}=q\lg a_{n}+\lg p ，令 b_n=\lg a_{n} ，则 b_{n+1}=qb_n+\lg p ,仿方法2.得 b_n ，再求 a_n 。

四、不动点法求数列通项

不动点法求数列通项，这篇文章会写的无比详实，看官可移步前往。

上文待定系数法已经用到了不动点法，下文主要补充求分式递推数列的方法。

先补充关于不动点的概念：

一般地，数列 \{x_n\} 的递推式可以由公式 x_{n+1}=f(x_n) 给出，因此可以定义递推数列的不动点：对于递推数列 \{x_n\} ，若其递推式为 x_{n+1}=f(x_n) ，且存在实数 x_0 ，使得 f(x_0)=x_0 ，则称 x_0 是数列 \{x_n\} 的不动点。

再来看看求分式递推数列的方法：

1.已知a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中 c\ne0，ad-bc\ne0 ），求通项 a_n 。

形如a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中 c\ne0，ad-bc\ne0 ）的递推式，求其通项可采用不动点法，方程 x=\frac{ax+b}{cx+d} 的根称为上述数列的不定点。

考虑方程x=\frac{ax+b}{cx+d}\Leftrightarrow cx^2+(d-a)x-b=0，得到了一个二次方程。

①若该数列只有一个不定点 \lambda ，则可令 \frac{1}{a_{n+1}-\lambda}=\frac{1}{a_n-\lambda}+A （其中 A 是待定常数），代入 a_1，a_2 的值可求得 A 的值。这样数列 \{\frac{1}{a_n-\lambda}\} 是首项为 \frac{1}{a_1-\lambda} ，公差为 A 的等差数列，于是可求得 a_n 。

②若该数列有两个不定点 \lambda 和 \mu ，则可令 \frac{a_{n+1}-\lambda}{a_{n+1}-\mu}=A•\frac{a_n-\lambda}{a_n-\mu} （其中 A 是待定常数），代入 a_1，a_2 的值可求得 A 的值。这样数列 \{\frac{{a_n-\lambda}}{a_n-\mu}\} 是首项为 \frac{a_1-\lambda}{a_1-\mu} ，公比为 A 的等比数列，于是可求得 a_n 。

简记：形如a_{n+1}=\frac{aa_n+b}{ca_n+d}（其中 c\ne0，ad-bc\ne0 ）的递推式对应特征方程为 x=\frac{ax+b}{cx+d} ，该方程的解称为上述数列的不定点。

（1）若若该数列有两个不定点 \lambda 和 \mu，数列 \{\frac{{a_n-\lambda}}{a_n-\mu}\} 是首项为 \frac{a_1-\lambda}{a_1-\mu} ，公比为 A 的等比数列。

(2)若该数列只有一个不定点 \lambda ，数列 \{\frac{1}{a_n-\lambda}\} 是首项为 \frac{1}{a_1-\lambda} ，公差为 A 的等差数列。

（3）若该数列只有没有不定点 ，则数列为周期数列。

a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}，其中 n\in\mathbb{N}^{*} ， P,Q 为常数

显然这个数列的极限是方程 \lambda=\frac{\lambda^{2}+P}{2\cdot \lambda+Q} 的一个根

方程 \lambda=\frac{\lambda^{2}+P}{2\cdot \lambda+Q} 有两个不等的根 \alpha,\beta 时

a_{n+1}-\alpha=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}-\alpha=\frac{\left( a_{n}-\alpha \right)^{2}}{2\cdot a_{n}+Q}

a_{n+1}-\beta=\frac{a_{n}^{2}+P}{2\cdot a_{n}+Q}-\beta=\frac{\left( a_{n}-\beta \right)^{2}}{2\cdot a_{n}+Q}

显然有 \frac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta}=\frac{\left( a_{n}-\alpha \right)^{2}}{\left( a_{n}-\beta \right)^{2}}

这样易得 \frac{a_{n}-\alpha}{a_{n}-\beta}=\left( \frac{a_{1}-\alpha}{a_{1}-\beta} \right)^{2^{n-1}}

最后结果为：

a_{n}=\frac{\beta\left( a_{1}-\alpha \right)^{n-1}-\alpha\left( a_{1}-\beta \right)^{n-1}}{\left( a_{1}-\alpha \right)^{n-1}-\left( a_{1}-\beta \right)^{n-1}}

五、特征根法求数列通项

设二阶常系数线性齐次递推式为 x_{n+2}=px_{n+1}+qx_n （ n\geq1 ， p，q 为常数， q\ne0 ），其特征方程为 x^{2}=px+q ，其根为特征根。

1.若特征方程有两个不相等的实数根 \alpha，\beta ，则其通项公式为 x_n=A\alpha^{n}+B\beta^{n} (n\geq1) ,其中 A , B 由初始值确定。

2.若特征方程有两个相等的实数根 \alpha ，则其通项公式为 x_n=[A\alpha+B(n-1)]a^{n-1}(n\geq1) ,其中 A , B 由初始值确定。

证明：

设特征根为 \alpha，\beta ，则 \alpha+\beta=p，\alpha\beta=-q .

所以 x_{n+2}-\alpha x_{n+1} = px_{n+1}+qx_n-\alpha x_{n+1} = (p-\alpha)x_{n+1}+qx_n = \beta x_{n+1}-\alpha\beta x_n =\beta( x_{n+1}-\alpha x_n）.

故 \left\{ x_{n+1}-\alpha x_{n}\right\} 是以 \beta 为公比， x_{2}-\alpha x_{1} (\ne0) 为首项的等比数列.

从而 x_{n+1}-\alpha x_n = (x_{2}-\alpha x_{1}) \beta^{n-1} .

所以 x_{n}=\alpha x_{n-1}+（x_{2}-\alpha x_{1}）\beta^{n-2} .

（1）当 \alpha\ne\beta ，其通项公式为 x_n=A\alpha^{n}+B\beta^{n} ，其中 A=\dfrac{x_{2}-\beta x_{1}}{\left( \alpha -\beta \right) \alpha } ， B=\dfrac{x_{2}-\alpha x_{1}}{\left( \alpha -\beta \right) \beta } ;

(2)当 \alpha=\beta ，其通项公式为 x_n=[A\alpha+B(n-1)]a^{n-1} ,其中 A=\dfrac{x_{1}}{\alpha } ， B=\dfrac{x_{2}-\alpha x_{1}}{\alpha } .

补充：一般数列的处理方法（递推数列）

（1）形如 A S _ { n } + B a _ { n } + C = 0 (Sn是数列前n项和)的递推数列通常利用公式 S _ { n } = a _ { n } - a _ { n - 1 } ( n \geq 2 ) 消和Sn或消项an, 从而化成型如前面的递推数列。

（2）求形如a_{n+1}=\frac{aa_n}{ba_n+c} ，abc\ne0 ，一般用倒数法求通项。

取倒数 \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{ba_n+c}{aa_n} = \frac{c}{a}•\frac{1}{a_n}+\frac{b}{a} 。

（1）当 a=c 时，\frac{1}{a_{n+1}}= \frac{1}{a_n}+\frac{c}{a} ，则\{\frac{1}{a_n}\}为等差数列。

（2）当 a\ne c 时，\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{c}{a}•\frac{1}{a_n}+\frac{b}{a} ，则\{\frac{1}{a_n}+x\}为等比数列， x=\frac{b}{c-a}。

（3）奇偶型数列处理方式：

若 a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( n ) , } & { n=2k-1 } \\ { g ( n ) , } & { n=2k } \end{array} \right.,k\in N^* 则 a _ { n } = \frac { f ( n ) + \mathrm { g } ( n ) } { 2 } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \frac { f ( n ) - \mathrm { g } ( n ) } { 2 } (合二为一)

（4）其它类型的递推数列可根据不同的题采取不同的方法处理,比如归纳,猜想,再用数学归纳法证明等等。