反三角函数公式

        小伙伴：“雪球，你又水Trivial的文章了！”实验室内外充满了快活的空气。玩笑归玩笑，但是不得不说反三角函数一直是很多人的重灾区。高中不学，大学讲高数又默认你会，理工领域也经常用，公式不熟练很容易出问题。但是，市面上大部分教科书很少有相关的公式备注，很多人又懒于自己推导，在收到很多小伙伴关于这方面计算化简的问题来信之后，雪球决定帮你们把这些公式搬运过来。都是很简单的东西，证明可以自己玩一玩，做题时候忘了，也可以看看这个文章查着用。

反三角函数的的相互关系

\begin{align} \arcsin x&=-\arcsin(-x)\\ &=\frac\pi 2-\aros x\\&=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\&=\aros\sqrt{1-x^2} \\ &=\operatorname{arot}\frac{\sqrt{1-x^2}}x \end{align}\tag 1

最后两个等号只在 x>0 时成立，下同

\begin{align} \aros x&=\pi-\aros(-x)\\ &=\frac\pi 2-\arcsin x\\ &=\operatorname{arot}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arcsin\sqrt{1-x^2}\\ &=\arctan\frac{\sqrt{1-x^2}}x \end{align}\tag2

\begin{align} \arctan x&=-\arctan(-x)\\ &=\frac\pi 2-\operatorname{arot}x\\ &=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ &=\aros\frac 1{\sqrt{1+x^2}}\\ &=\operatorname{arot}\frac 1x \end{align}\tag 3

\begin{align} \operatorname{arot}x&=\pi-\operatorname{arot}(-x)\\&=\frac\pi2-\arctan x\\&=\aros \frac x{\sqrt{1+x^2}}\\&=\arcsin\frac1{\sqrt{1+x^2}}\\&=\arctan\frac 1x\\ \end{align}\tag 4

反三角函数的和差

反正弦：\begin{align} \arcsin x+\arcsin y&=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\quad(xy\le0\quad or\quad x^2+y^2\le1)\\ &=\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\quad(x>0,y>0,x^2+y^2>1)\\ &=-\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\quad(x<0,y<0,x^2+y^2>1)\\ \end{align}\tag5

\begin{align} \arcsin x-\arcsin y&=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})\quad(xy\ge0\quad or\quad x^2+y^2\le1)\\ &=\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})\quad(x>0,y<0,x^2+y^2>1)\\ &=-\pi-\arcsin(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})\quad(x<0,y>0,x^2+y^2>1)\\ \end{align}\tag6

反余弦：

\begin{align} \aros x+\aros y&=\aros[xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2})]\quad(x+y\ge0)\\ &=2\pi-\aros[xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2})]\quad(x+y<0)\\ \end{align}\tag7

\begin{align} \aros x-\aros y&=-\aros[xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2})]\qquad\qquad(x\ge y)\\ &=\aros[xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2})]\qquad\qquad(x<y)\\ \end{align}\tag8

反正切：

\begin{align} \arctan x+\arctan y&=\arctan\frac{x+y}{1-xy}\quad(xy<1)\\ &=\pi+\arctan\frac{x+y}{1-xy}\quad(x>0,xy>1)\\ &=-\pi+\arctan\frac{x+y}{1-xy}\quad(x<0,xy>1)\\ \end{align}\tag9

\begin{align} \arctan x-\arctan y&=\arctan\frac{x-y}{1+xy}\quad(xy>-1)\\ &=\pi+\arctan\frac{x-y}{1+xy}\quad(x>0,xy<-1)\\ &=-\pi+\arctan\frac{x-y}{1+xy}\quad(x<0,xy<-1)\\ \end{align}\tag{10}

反三角函数的二倍

反正弦：\begin{align} 2\arcsin x&=\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\quad(|x|\le\frac{\sqrt{2}}{ 2})\\ &=\pi-\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\quad(\frac{\sqrt2}2<x\le1)\\ &=-\pi-\arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\quad(-1\le x<-\frac{\sqrt2}2)\\ \end{align}\tag{11}

反余弦：\begin{align} 2\aros x&=\aros(2x^2-1)\quad\quad\quad\quad\quad(0\le x\le 1)\\ &=2\pi-\aros(2x^2-1)\quad\quad\quad\quad\quad(-1\le x<0)\\ \end{align}\tag{12}

反正切：\begin{align} 2\arctan x&=\arctan\frac{2x}{1-x^2}\quad\qquad\qquad\qquad(|x|<1)\\ &=\pi+\arctan\frac{2x}{1-x^2}\quad\qquad\qquad\qquad(|x|>1)\\ &=-\pi+\arctan\frac{2x}{1-x^2}\qquad\qquad\qquad(x<-1) \end{align}\tag{13}

余弦反余弦复合的重要关系公式：

\cos(n\aros x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n}2\quad(n\ge 1)\tag{14}