二重积分极坐标

一、什么是极坐标

在平面内取一个定点0，叫做极点。引一条射线OX,叫做极轴，这样就建立了一个极坐标系。对于平面内任一点M，记

如下图（r，θ）就叫做点M的极坐标

二、极坐标与直角坐标系的关系

两坐标系中变量之间的关系

三、二重积分的极坐标转化

根据变量之间的关系，二重积分中被积函数的转化

于是，二重积分从直角坐标系转化为极坐标为

也可写成在转化过程中有一个记忆窍门

四、极坐标系下二重积分化为累次积分的三种情形

1.区域特征如下图极点O在积分区域D外

或者下面这样的图

极点在区域D之外，此时区域D可描述为

其中θ 的积分限确定方法积分区域D的边界与极点连线，连线与极轴正向的夹角最小值α为积分下限，最大值β为

积分上限；

2. r 的积分限确定方法从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，先穿过的曲线φ1(θ)为积分下限，后穿过的曲线φ2(θ)为积分上限。

二重积分转化为极坐标系下的积分为

2.区域特征如下图极点在积分区域的边界上

极点在区域D的边界上，此时区域D可描述为

其中θ 的积分限确定方法积分区域D的边界与极轴正向的夹角，最小值α为积分下限，最大值β为积分上限；

r 的积分限确定方法从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，由于极点在积分区域D的边界上，故 r的积分下限为0，射线会穿过曲线，此时曲线为积分上限φ(θ)。

二重积分转化为极坐标系下的积分为

3.区域特征如下图极点在积分区域内

极点在区域D的内部，此时区域D可描述为

其中θ 的积分限确定方法极点在积分区域D的内部，所以积分下限为0，积分上限为2π；

r 的积分区间确定方法从极点出发一条射线，射线穿过积分区域D，由于极点在积分区域D内，故r的积分下限为0，射线穿过曲线，此时曲线为积分上限φ(θ)